다양한 형태의 자연로그, ln(ax+b)의 적분(Integral)

09년도 수능을 치고 어느덧 21년, 12년이 지나고 오랜만에 회사에서 적분 공부를 했습니다. 궁극적인 목표는 BEOL(Back End of Line) Metal의 저항을 구하는 것, 이를 모델링하는데 자연로그 적분이 필요했고 이번 포스팅에 ln(ax+b)의 적분 이것만 먼저 알아보겠습니다.

scale 없이 모양은 왼쪽 그림 2^x와 exp(x)가 같습니다. 아무리 미분해도 변하지 않는 exp(x)

오일러 수 e의 지수함수 exp(), 그리고 그 역함수인 ln()을 자연로그라고 하는 이유는 가장 Natural하기 때문!! 자연현상으로 나타난 모습을 Modeling할 때, 함수의 모양을 보고 y=a*exp(bx)+c 혹은 y=a*ln(bx)+c (a,b,c는 상수(constant))로 두고 풀면 대부분 잘 맞습니다.

cf. exp(x)=e^x, 역함수 : y=x를 기준으로 대칭인 함수

 

ln(x)의 적분

이건 간단합니다. 부분적분 int(u'v)dx=uv-int(uv') 한 번만 하면 됩니다.

$$\int _{\ }^{\ }\ln \left(x\right)dx=\int _{\ }^{\ }1\cdot \ln \left(x\right)dx\\ $$

$$=x\ln \left(x\right)-\int _{\ }^{\ }x\cdot \frac{1}{x}dx\\ =x\ln \left(x\right)-x+C$$

integral(ln(x))=xln(x)-x

이 식은 외워두는게 좋을 것 같아요!!

 

ln(x+b)의 적분

이번엔 난이도를 조금 높여서,, b=상수(constant)입니다. 잠시 헷갈렸지만 별거 없습니다.

$$={\left(x+b\right)\ln \left(x+b\right)-}\left(x+b\right)+C$$

위 식 x에 (x+b)만 갈아껴주면 됩니다.

ln(ax+b)의 적분

오늘 회사에서 하루 종일 고민했던 마지막 문제

ax+b=X로 치환, 양 변을 미분하면 a=dX/dx가 되구요.

$$\int _{A\ }^{B\ }\ln \left(ax+b\right)dx=\int _{aA+b\ }^{aB+b\ }\frac{\ln \left(X\right)}{a}dX\\ =\frac{1}{a}\int _{aA+b\ }^{aB+b\ }\ln \left(X\right)dX$$

$$=\frac{1}{a}{\left|{X\ln \left(X\right)-X}\right|}_{aA+b}^{aB+b}$$

ax+b를 X로 치환해서 풀면 의외로 간단하더라구요. 조금 복잡해 보이지만 A,B,a,b 상수들만 좀 많아졌을 뿐입니다. 엑셀에 우겨넣어서 돌리면 금방이죠~ 치환할 때 상수 변화만 좀 주의하면 될 것 같습니다.  

ln(ax+b)의 적분으로 이제 왠만한 자연로그 적분의 계산은 할 수 있게 되었습니다. 다음 포스팅에서는 현업에서 쓰는 modeling을 위해, 위 그림 주황색 부분의 면적을 구해 적용해 볼 예정입니다.